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第133章 深探等差数列（第1页）

第133章深探等差数列

在经历了梯形中位线和其他数学知识的传授与交流后，戴浩文决定在接下来的讲学中，引领学子们深入探索等差数列这个充满奥秘的数学领域。

这一日，阳光透过窗棂洒在学堂的地面上，戴浩文神色庄重地站在讲台上，看着台下一双双充满求知欲的眼睛，缓缓开口道：“诸位学子，今日我们将进一步深入探究等差数列之妙处。”

学子们纷纷挺直了腰杆，全神贯注地准备聆听戴浩文的讲解。

戴浩文在黑板上写下了一个等差数列的例子：“2，5，8，11，14……”，然后问道：“谁能说一说这个数列的公差是多少？”

一位学子立刻举手回答道：“先生，公差为3。”

戴浩文点了点头，接着问道：“那它的通项公式又该如何表示呢？”

课堂上陷入了短暂的沉默，随后一位聪明的学子站起来说道：“先生，通项公式应为an=a1+（n-1）d，在此例中，a1=2，d=3，所以通项公式为an=2+3（n-1）。”

戴浩文微笑着表示肯定：“不错。那我们来思考一下，如果已知等差数列的第m项和公差，如何求出首项呢？”

学子们纷纷拿起笔，在纸上开始计算和推导。

过了一会儿，一位学子说道：“先生，我觉得可以通过am=a1+（m-1）d这个式子变形求出首项a1。”

戴浩文鼓励道：“很好，那你具体说一说。”

学子接着道：“将式子变形为a1=am-（m-1）d，这样就可以通过第m项和公差求出首项了。”

戴浩文满意地说道：“非常正确。那我们再深入一些，若已知等差数列的前n项和Sn，以及项数n和公差d，如何求首项a1呢？”

这个问题显然更具难度，学子们陷入了深深的思考之中。

这时，一位平时就善于思考的学子站起来说道：“先生，我觉得可以先根据等差数列的前n项和公式Sn=n（a1+an）2，将an用通项公式表示出来，然后代入求解。”

戴浩文眼中露出赞赏之色：“思路很好，那你来给大家详细推导一下。”

学子走到黑板前，开始认真地推导起来：“因为an=a1+（n-1）d，所以Sn=n（a1+a1+（n-1）d）2，化简后得到Sn=n[2a1+（n-1）d]2，进一步变形可得2Sn=n（2a1+（n-1）d），2Sn=2na1+n（n-1）d，2a1=（2Sn-n（n-1）d）n，最终得出a1=（2Sn-n（n-1）d）2n。”

戴浩文带头鼓掌：“推导得非常精彩！那我们再来看一个实际应用的例子。假设一个等差数列的前10项和为150，公差为2，求首项。谁能来解一下？”

学子们纷纷埋头计算，不一会儿，一位学子举手说道：“先生，我算出来了。根据刚才推导的公式，a1=（2×150-10×9×2）20=6。”

戴浩文点了点头：“正确。那我们再思考一下，如果已知等差数列的前三项和为12，且前三项的平方和为40，如何求这个数列的通项公式呢？”

这个问题让学子们感到有些棘手，但他们并没有退缩，而是相互讨论，尝试着寻找解题的方法。

过了许久，一位学子说道：“先生，我设这三项分别为a-d，a，a+d，然后根据已知条件列出方程组，可以求出a和d，进而得到通项公式。”

戴浩文说道：“那你来具体解一下这个方程组。”

学子在黑板上写道：“（a-d）+a+（a+d）=12，（a-d）2+a2+（a+d）2=40。解第一个方程得3a=12，a=4。将a=4代入第二个方程得（4-d）2+16+（4+d）2=40，化简得到16-8d+d2+16+16+8d+d2=40，2d2=40-48，2d2=-8，d2=-4（舍去）或者d=2，d=-2。所以当d=2时，通项公式为an=2+2（n-1）=2n；当d=-2时，通项公式为an=8-2（n-1）=10-2n。”

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戴浩文说道：“解得很好。那我们再来看一个更复杂的问题。已知一个等差数列的前n项和为Sn，且满足Snn是一个等差数列，求这个原数列的通项公式。”

学子们再次陷入沉思，这次讨论的时间更长了。

终于，一位学子说道：“先生，我觉得可以先设Snn的通项公式，然后通过Sn-Sn-1求出原数列的通项公式。”

戴浩文说道：“不错，那你来试试看。”

学子开始推导：“设Snn=bn，则bn=b1+（n-1）c，Sn=n（b1+（n-1）c），当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（b1+（n-1）c）-（n-1）（b1+（n-2）c），化简后得到an=b1+（2n-2）c-（n-1）c=b1+（n-1）c，当n=1时，a1=S1=b1，所以an=b1+（n-1）c。”